Les racines carrées c'est bien joli mais ça sert à quoi ?

Dans chaque classe, chaque année, il y a toujours un élève pour poser cette question au prof de maths lorsque le programme mène aux arithmétiques un peu plus complexes. Après tout, c'est vrai quoi, ça nous sert à quoi tous ces outils ? Le mot "outil" est important, puisque les mathématiques ne donnent aucune réponse. Elles ne sont qu'une façon de formuler les choses, parfois plus précisément que ne le permettent les mots.



On n'utilise jamais les fonctions dans la vie courante...

... Ou, du moins, très rarement consciemment. Mais lorsqu'on hésite entre se rendre quelque part à pieds ou sortir le vélo, notre cerveau présente le problème de cette façon :

Soit x la durée du trajet à pieds, y la durée en vélo.

x = (trajet en km)/(vitesse de marche)
y = (temps de préparation du vélo) + (trajet en km)/(vitesse en vélo) + (temps pour cadenasser le vélo)

Concrètement, on évalue tout d'abord la durée du trajet à pieds. Ensuite, on fait de même pour celle du trajet en vélo, tout en prenant en compte qu'il faudra aussi le sortir de la cave et l'attacher une fois arrivé.
La seconde étape est la numérisation ; c'est le fait de remplacer les données connues par leurs valeurs. On va prendre les valeurs suivantes :

Sortir et attacher le vélo = 3 minutes, soit 0,05 heure.
Vitesse à pieds = 6km/h
Vitesse en vélo = 20km/h

Pour un trajet de 600m (= 0,6km), on a :

x = 0,6/6 = 0,1 heure, soit 6 minutes.
y = 0,6/20 + 0,05 = 0,08 heure, soit 4 minutes et 48 secondes.

x > y, il est donc préférable de prendre le vélo ici !

Toutes nos questions de priorités intègrent des fonctions. C'est d'autant plus vrai quand, comme ici, ces questions comprennent des valeurs chiffrées. Bien sûr, le problème que je proposais est assez simple pour qu'on choisisse immédiatement de sortir le vélo. Mais l'avantage de ces outils, c'est qu'ils sont les mêmes pour tous les problèmes, des plus simples comme celui-ci aux plus complexes ! Vous n'allez pas chercher un maillet si vous êtes capable d'enfoncer un piquet de tente dans une terre meuble, mais vous êtes bien content de savoir vous en servir quand le sol en requiert un.

Les dérivées c'est caca.

Souvenez-vous des dérivées... Ces choses bizarroïdes qu'on nous faisait apprendre par cœur, comme :
dérivée de (x²+5)=2x
On n'a jamais vu d'application de ces choses loufoques ! Sauf que... Les dérivées ne sont en fait pas sorcier : ce n'est qu'une méthode précise permettant d'évaluer de quelle façon évolue un résultat dont la valeur dépend de certains critères. Par exemple, on entend souvent des phrases du genre : « Le gouvernement se félicite de la chute du nombre de tués sur la route depuis qu'il a remplacé les flashes des radars par des rockets à tête chercheuse. Les autorités ont en effet relevé une baisse de 42 morts par rapport à l'année dernière. »

Que signifie le chiffre 42 (ou plutôt -42 puisqu'il s'agit d'une baisse) ? Cela ne veut pas dire que 42 des tués sur route ont ressuscité. Ce chiffre représente une dérivée ! On pourrait faire une courbe dont les points montrent, pour chaque année, le nombre de morts recensées. Entre le point de l'année dernière et celui qu'on dessine cette année, on trace une droite. On constate que cette droite est inclinée, et cette inclinaison peut être calculée grâce à la dérivée. Puisque -42 est un nombre négatif, la droite est dirigée vers le bas. Il y a toujours des morts sur route, mais il y en a moins...

Là où c'est fort, c'est qu'on peut faire des dérivées de dérivées de dérivées de dérivées de... Et qu'on peut utiliser ça pour faire des reportages pourris, notamment.
Je suis tombé tout à l'heure sur un reportage parlant du nombre de voitures en Chine. Le journaliste n'avait pas l'air d'avoir envie de nous donner ce nombre, il a préféré nous donner la différence entre le nombre de voitures qu'il y a eu en plus l'année dernière et le nombre qu'il y a eu en plus cette année ! C'est assez laborieux comme raisonnement... Et surtout inutile.

Imaginons qu'en 2009 il y ait 5000 voitures dans une ville. En 2010, 200 voitures sont parties à la casse, et pas une seule n'a été vendue. Il reste 4800 voitures, on a donc une évolution de -200. En 2011, 300 voitures sont parties à la casse, mais 200 ont été vendues. Il reste 4700 voitures, on a une évolution de -100.
Ce qu'a fait ce journaliste, c'est qu'il a comparé l'évolution du nombre de voitures en 2010 (-200) avec celle de 2011 (-100). Il a calculé « l'évolution de l'évolution », autrement appelée dérivée seconde, et comme il a trouvé un nombre positif (il faut ajouter +100 pour passer de -200 à -100), il en a conclu qu'il y avait de plus en plus de voitures en Chine. Pourtant, on vient de voir que ce chiffre ne signifie rien, car dans notre exemple le nombre de voitures diminue ! Il diminue simplement moins vite cette année que l'année dernière.

Les dérivées sont une notion importante si on espère comprendre quelque chose dans le raisonnement tordu de certains politiques et médias.

Les logarithmes ? J'préfère la logamélodye.

Outre ce jeu de mots pourri, les logarithmes permettent de comprendre des tas de choses. Ce ne sont pas qu'un outil mathématique, mais une formulation bluffante de certaines perceptions de notre esprit. Nos émotions vis-à-vis des chiffres sont logarithmiques !

Par exemple, quand quelqu'un nous parle de 80€, on est capable d'estimer cette somme, et de l'intégrer dans notre échelle de valeurs. Pour un t-shirt, c'est cher, mais pour une belle veste en cuir, c'est une bonne affaire. Mais quand on entend parler de Kerviel avec ces fameux 5 milliards d'euros, on va tout au plus se marrer en imaginant que ça fait un milliard de kébabs. Ces chiffres dépassent nos valeurs communes.

Dans un repère logarithmique de base 10, on a : log(10)=1, log(100)=2, log(1000)=3... log(5 milliards) = 9,7.
On classe généralement nos dépenses selon ces valeurs. Les petites dépenses hebdomadaires sont de valeur 1, soit entre 10 et 100€. Les grosses dépenses qu'on s'autorise après de longues économies ou un anniversaire fructueux, ainsi que les loyers ou taxes d'habitation sont de valeur 2. Le salaire, duquel dépend tout ça, est de valeur 3. Quand on ne travaille pas dans le monde de la finance, notre sens des valeurs ne dépasse généralement pas 7 (le logarithme de 10 millions).

Le plus fascinant, c'est la perception du temps. N'avez-vous jamais remarqué que les années paraissaient beaucoup plus longues quand vous aviez 5 ou 6 ans ? C'est la conséquence d'une perception du temps subjective. Albert Jacquard a écrit qu'en âge logarithmique, la conception vaut 0, la naissance 1, les sept ans valent 2 et le 3 est atteint vers 74 ans. En d'autres termes, Le temps nous paraît aussi long entre 0 et 7 ans qu'entre 7 et 74 ans. À l'inverse, quand on tente de se rappeler des évènements de sa vie, c'est comme si on essayait de remonter la courbe logarithmique ci-dessus : les évènements récents sont faciles à retrouver, mais plus on se rapproche de sa naissance et plus les souvenirs sont vagues, jusqu'à devenir infiniment trop flous pour être imaginables.

La découverte du passé de l'Univers est observable de la même façon. On est capables de calculer avec une précision bluffante la température de l'Univers quelques secondes après le Big Bang ; on peut imaginer de quel ordre était sa température quelques millisecondes après, mais plus on s'approche du Big Bang et moins il est possible d'en savoir sur l'état de la matière alors.